Martin Gripenberg: Mängdläran som kom av sig

Då Sovjet den 4 oktober 1957 tog ledningen i rymdkapplöpningen genom att skjuta upp världens första satellit, Sputnik, tvingades Amerikanerna inse att ryssarna var överlägsna i naturvetenskap och matematik. Det ledde till en panikreaktion i USA och plötsligt fanns det miljoner dollar att satsa på undervisningen av matematik och naturvetenskaper. De som hade idéer fick möjlighet att lansera dem.

En sådan idé var den nya matematiken, new math, som hade formats i USA i början av 1950-talet med mängdlära som en viktig byggsten. Matematiker vid Stanford University och University of Illinois drev linjen att studenterna skulle ges förståelse snarare än att drillas med tabeller och lära sig svar utantill. De skulle via mängdlära få insikter i matematikens grunder och begrepp. De skulle alltså lära sig matematiken från grunden.

Omdaningen av västvärldens matematikutbildning tog fart i och med en konferens på slottet Royaumont utanför Paris. I bakgrunden låg sådana nya landvinningar inom fysiken, som relativitetsteori och kvantfysiken. Även om matematikvetenskapen under 1800 och 1900 århundraden kraftigt hade utvecklats fokuserade undervisningen alltjämt till stor del på de matematiska områden som revisorer, seglare och tekniker behövde i sitt arbete.  Matematikern Nicolas. Bourbaki formulerade tillsammans med några andra matemaitker en avhandling om matematik ur ett logiskt perspektiv Elements of Mathematics. Avhandlingen består av elva böcker uppdelade i ett eller flera kapitel. I Royaumont möttes i november 1959 amerikanska och europeiska forskare för att diskutera vilka krav som skulle ställas på framtidens utbildning i matematik. En av de tongivande deltagarna var bourbakisten Jean Dieudonné, som lanserade den nya matematikens stridsrop:

– Ner med Euklides!

Modern matematik skulle däremot byggas upp med logiska begrepp utifrån en rad abstrakta axiom. Efter konferensen i Ro spred sig mängdläran som en löpeld genom västvärlden och blev grunden för skolmatematiken redan från lågstadiet i land efter land. I Norden tillsattes efter konferensen i Royaumont en kommitté för förnyande av matematikundervisningen. Kommitténs rapport 1967 blev den murbräcka som banade väg för mängdläran i Norden. I Sverige hade man redan 1950 beslutat om införande av en grundskola. Just Sputnikåret 1957 hade den svenska regeringen tillsatt en skolberedning med uppdrag att staka ut riktlinjerna för den nioåriga enhetsskolan.

Man trodde att matematiken skulle bli lättare med ett klart och konsekvent språk. En bärande tanke var att eleverna själva skulle välja häften och uppgifter efter sin nivå, följa sin egen bana genom materialet. Det fanns även ett omfattande bredvidmaterial av trästavar som representerade talen ett, tio respektive hundra. Det fanns bingobrickor, kort- och tärningsspel och overhead-presentationer. Dessutom fick man skriva i böckerna, dessa var förbrukningsvara som skulle behållas. Via mängdläran skulle eleverna få ett mer logiskt tänkande, säger Sven-Erik Gode, som arbetade på Skolöverstyrelsen när mängdläran fasades ut i slutet av 1970-talet.

I Finland rådde på 1950-talet ännu parallellskolesystemet med folkskola och läroverk. I folkskolan lärde man sig räkning och mätningslära och i läroverket matematik som under de två första åren huvudsakligen var räkning. Algebra och geometri kom in i undervisningen först i läroverkets tredje klass. Då grundskolan infördes under 1970-talet innebar det också i Finland en översyn av lärokurserna i alla ämnen. Det var då mängdläran fick sitt genomslag här. Allt skulle moderniseras i matematikern och det gamla kastas ut. Det gjorde att lärarna varken orkade eller hann sätta sig in i allt de nya. Motståndet blev stort på många håll.

Enligt den nya matematiken skulle man inte utgå från siffrorna utan från mängder. Dessutom räknade man liksom i algebran ofta med bokstäver i stället för med siffror. Man utgick från att man kan vilja samla ett antal objekt av något slag och ge objekten en gemensam beteckning. Det kunde röra sig om objekt i form av tal, ord, bokstäver, personer, färger eller något annat. Objekten samlade i något som kallades en mängd. Ett objekt som finns i en mängd kallades ett element. Exempel på mängder kan vara alla spelare i ett visst fotbollslag eller alla positiva heltal mindre än 10. På tre olika sätt kunde man beskriva vilka element som ingår i en mängd:

Det första sättet är att beskriva mängden med hjälp av text. Till exempel kan man beskriva en mängd genom texten “A är mängden av alla heltal större än 3.” Ibland fungerade detta bra, men s ärskilt när man hade att göra med komplicerade mängder riskerade texten att bli lång och/eller invecklad, och risken fanns att det kunde uppstå tolkningsproblem.

Ett andra sättet att beskriva en mängd på är genom en uppräkning av elementen som ingår i mängden. Till exempel kunde man göra denna uppräkning för mängden A, som består av alla positiva heltal större än 3.

Ett tredje sättet att beskriva mängden var med en mängdbyggare. Den abstrakta mängdbyggaren delades upp i element och delmängder. Siffran noll motsvarades följaktligen av en tom mängd. Antalet element som en mängd innehåller kallades mängdens kardinalitet och antalet element i en specifik mängd angavs med hjälp av ett kardinaltal. I mängdläran användes också en del beteckningar som var nya för matematiken.:

Laila Anderssons bild av några av hennes skolböcker i grundskolan.

 

 

 

Mängder och skillnader i storlek i Matematik 1. (Bild Laila Andersson)

Man utgick från naturliga tal och räknade med ett antal olika typer av tal. Dessa olika talmängder var så viktiga att de fick specifika symboler. Talmängder är användbara för att beskriva olika saker. För att använda talmängderna på rätt sätt var det viktigt att veta talens egenskaper i respektive mängd. Dessa egenskaper utgör axiom som man en gång i tiden har fastställt för heltalen. Till talens egenskaper räknades slutenhet, associativitet, kommutativitet, och distributivitet. Dessutom användes begrepp som additiv invers, neutrala element och inga nolldelare. Skillnaden mellan reella tal och irrationella tal utgjorde också en grund för mängdläran.

Med metoden induktionsbevis kunde man bevisa påståenden som gäller mängden av naturliga tal som är större än eller lika med ett startvärde (till exempel 0 eller 1). Då mängden naturliga tal är obegränsad kan bevis inte utföras för varje enskilt fall. I det generella induktionsbeviset delas beviset för påståendet upp i tre steg: En informell beskrivning av matematisk induktion kan illustreras med fallande dominobrickor. Denna bevismetod är av grundläggande betydelse för aritmetik och mängdlära och därmed för alla områden av matematiken.

På svenskspråkigt håll i Finland användes Jorma Kinnunens och Heikki Sunis läroböcker i matematik: Matematik 1..., Lätt matematik 1 – 6.  Eleverna hade vanligen inga svårigheter att ta de logiska begreppen till sig. Många upplevde mängdläran som direkt lätt. Bokens namn kan emellertid av lärare och föräldrar upplevas som ironiskt då den introducerade en hel del begrepp som de upplevdes som främmande och svåra att greppa åtminstone för lärare och föräldrar. I en webbenkät om mängdläran fick jag bla. kommentarerna:

”Vi hade mängdlära i gymnasiet. Enda gången jag fått vitsordet 8 i stället för 5, 6 eller 7. Min pappa förstod sig inte alls på mängdläran och tyckte den var stollig.”

”Barnet i lågstadiet räknade glatt. Själv drog jag på munnen”

”Jag kommer ihåg att vi i vuxeninstitutet ordnade kurser i mängdlära för såväl lärare som föräldrar. Det var nog ett huvudlöst tilltag med abstrakta begrepp, sådant jag hade kommit i kontakt med i en approbaturkurs i matematik. Tack och lov ändrades läroplanen ganska snart. Sonen hos oss hade mängdlära i lågstadiet så det kan hända att matteboken och övningsboken finns kvar. Jag tror att mängdlära var borta redan 6 år senare då dottern gick motsvarande klasser i lågstadiet. Nyttan med mängd och union för småbarn är nog ifrågasatt.”

”Jag tyckte nybörjarböckerna var för småbarn. Barnen drog streck mellan bubblorna, jag drog på mun, föräldrarna förundrade sig. Större än, mindre än, lika många …i all oändlighet.”

” Började hösten 1973 i gymnasiet. Läraren konstaterade plikttroget att de kommit påbud om att vi skulle lära oss något nytt, mängdlära. Det verkade som om läraren skulle ha velat stöka undan det ganska fort så att man kunde börja med ”riktig” matematik. För eleverna var det väl skönt då det var grunder och därigenom ganska lätt. Vi hade ingen bok utan så kallade kompendier. Det här är hur jag minns det.”

”Alltså jag tycker jag har läst mängdlära på flera stadier, men åtminstone i gymnasiet och yrkeshögskolan. Kanske även i högstadiet. Förstår dock inte varför den skulle vara onödig?”

 

 

 

Problemlösningsuppgifter i Lätt matematik 6 som ingick i den svenskspråkiga boken 1988.

”Vi tyckte om mängdläran, men hemma var manfundersam. Jag minns att jag tyckte det var lätt. Vi brukar minnas med mina fd. klasskamrater (begreppen) Union och Snitt”

”I verket Filosofiska undersökningar II § 371 (med kommentarb av Leo Herzberb) hävdas att psykologins förvirring och ödslighet inte kan förklaras med att den är en’ ung vetenskap’ som därför inte kan jämföras med tex. fysikens utan snarare med vissa grenar av matematikens, såsom mängdläran där det också förekommer begreppsförvirring,” (inte ordagrant återgivet).

Den nya matematiken verkade emellertid inte att leda till de önskade resultaten. I mängdläran ansågs undervisningens innehåll ha förskjutits alltför mycket till symboliken så att träningen av själva räknefärdigheten blev eftersatt. Trots att mängdläran rekommenderades av skolstyrelsen föredrog en stor del av lärarna att använda de äldre och mera beprövade metoder som användes bla. i Hultmans läroböcker Ettan matematik… Sexans matematik.

Många lärare i nybörjarmatematiken hade svårigheter att ta den nya matematiken till sig.  I efterhand betraktas reformen därför som ett gigantiskt fiasko där man lät yrkesmatematiker bestämma i pedagogiska frågor. Den var nog ett sådant icke-livsdugligt utopiskt pedagogiskt projekt, som det har funnits många av särskilt under 1900-talet då samhällsutvecklingen genomgick enorma förändringar med urbanisering, modernisering och stora tekniska framsteg.

I USA ansåg matematiklärarnas organisation i början på 1980-talet att matematikundervisningens fokus borde flyttas till problemlösning. Då Utbildningsstyrelsen i Finland år 1982 omarbetades grundskolans läroplan betonade man framför allt just förmågan att lösa matematiska problem och matematikens tillämpbarhet. Detta kom också att synas i läroboken Lätt matematik 6. Som en följd av fokuseringen på problemlösning upphörde man småningom med att undervisa mängdlära och logik som skilda delområden. Flera krävande delområden flyttades från lågstadiet till högstadiet och gymnasiet. Man strävade efter att ge eleverna tid att undersöka spännande ämnen och hitta sina egna modeller för problemlösning.

Mängdläran kritiserades av många lärare för att lämpa sig bättre för de mest begåvade eleverna. Lösningsmodellerna ansågs vara alltför ensidiga. Då antalet veckotimmar i matematik år 1985 dessutom minskades från fyra till tre per år ökade pressen på att få en så stor del av eleverna som möjligt att bli goda räknare trots mindre tid för träning. Från 1994 kommunaliserades läroplanerna helt. Kommunerna kunde därigenom sätta sin egen prägel på undervisningen. Det innebar att fokus riktades på mellanresultaten och inte på själva undervisningsmetoderna. På högstadiet avstod man sedan från nivåkurserna som hade delat in eleverna i skickligare och mindre skickliga matematiker. Eero Seppä hävdar att mängdläran därför upphörde att användas i grundskolan från är 1994.

På 2000-talet har antalet matematiktimmar åter utökats och man har återgått till ett mera centraliserad styrning av matematikundervisningen. I förslaget Grundutbildning 2020 eftersträvar man särskilt en starkare integrering av matematikundervisningen med övriga läroämnen i grundskolan.

Då mängdläran eftersträvade att för eleverna ge en djupare förståelse av matematikens väsen visade det sig vara en väl tung uppgift för många av lärarna med en traditionell utbildning. Till det bidrog att elevmaterialet som de undervisade var mycket heterogent. För många av elevernas föräldrar var mängdläran ett helt obegripligt ämne som förhindrade dem att ge sina barn hjälp med läxor och uppmuntran i skolarbetet. Det här var orsaker till att man såg det som nödvändigt att återgå till en tillämpad matematik ungefär sådan den hade varit före Sputnik-krisen.

Thomas Rosenberg konstaterar i en spalt i SFV magasinet att man ska vara försiktig med att alltför snabbt och okritiskt föra in nya och oprövade metoder i våra skolor. Han tänker nog särskilt på digitaliseringen, men kan i det fallet ha fel eftersom det är ett fenomen som genomsyrar hela samhälle.

Ändå undrar jag om det inte är en litet väl enkel lösning att man nöjer sig med att en mera avancerad undervisning begränsas till de mest matematiskt begåvade tex. genom att utöka kursutbudet i gymnasiet. I stället borde man kanske sträva till en mera grundläggande omläggning av matematikundervisning så som avsågs med mängdläran. För mig handlar det inte bara om en demokratifråga, utan jag är mera bekymrad över matematikundervisningens utveckling överlag eftersom jag tror att en bredare förståelse av matematikämnet också bidrar till att fördjupa detta.

Industrialismen medförde stora och snabba samhällsförändringar. En del av försöken till förändring förblev utopier. Det krävs att tillräckliga förutsättningar uppstår. I det avseendet tror jag Thomas Rosenberg har rätt. Förändringarna får inte vara alltför plötsliga och drastiska om man skall lyckas få lärare och föräldrar att acceptera dem. Jag skulle räkna den nya matematiken med mängdläran till denna kategori av utveckling som ännu inte hade förutsättning att genomföras. Många av dessa försök har tyvärr förblivit sådana orealistiska utopier.

Den här texten har författats med bidrag av bla. Lisen Häggblom och Laila Andersson.

 

Källor:

Hultman Charles, Jyllentorp Ankar, Kristensson, Margareta, Ljung Bengt-Olov, Erikson Holger, Mattsson Gun-Britt, Törnroos Siw: Fyrans matematik,  Lärobok, Andra upplagan (första upplagan utgiven 1984 efter originalupplagan utgiven i Sverige), Vasa 1988.

Hultman Charles, Jyllentorp Ankar, Westman Maud, Kristensson, Margareta, Ljung Bengt-Olov, Erikson Holger, Häggblom Lisen: Ettans matematik, Lärobok, Lärarens bok b, Facit, ursprungligen utgiven i Gävle 1980, Hangö 1983

Karlsson Mats: Matterevolutionen som kom av sig. Forskning och Framsteg, 2012-03-31.  https://fof.se/tidning/2012/3/artikel/matterevolutionen-som-kom-av-sig

Kinnunen Jorma, Suni Heikki, Ristola Rose-Marie, Waris Marita: Lätt matematik 1b.   Utgiven efter en finskspråkig förlaga 1974. Hangö 1981.

Kinnunen Jorma, Suni Heikki, Ristola Rose-Marie, Waris Marita: Lätt matematik 6b. Utgiven efter en finskspråkig förlaga 1983. Hangö 1988.

Kinnunen Jorma, Suni Heikki, Virtanen Kalervo, Orginalets titel Matematiikkaa 1. Till svenska av Karl-Erik Juselius: Matematik 1, Söderströms förlag. Godkänd av skolstyresen 18.4.1969. Åbo 1969.

Matteboken, Matematik 5, Mängdlära, Begreppet mängd:

https://www.youtube.com/watch?v=hYJt0IAfqi8 8.3.2020

Rosenberg Thomas: Minns du mängdläran? SFV magasin 1/2009.

Seppä Eero: Joukko-opin rooli suomalaisessa koulumatematiikassa. Pro gradu tutkielma Tampereen yliopisto. 2013.

Uusi matematiikka:  https://fi.wikipedia.org/wiki/Uusi_matematiikka  23.4.2018

Wittgenstein, Ludvig: Filosofiska undersökningar, 1998.

Worldpress.com, Skolhistoria, April 2019. Mängdläran som kom av sig

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.